Linear CEF Model

Abstract

根据 Conditional Expectation Function 的定义可知，E[Y∣X] is the best predictor of Y，但条件期望函数的形式仍然是未知的，这一结论只是套套逻辑。因此，我们需要对 CEF 的具体形式做出进一步假设。

Setup

Linear CEF Model 设定如下：

  1. 定义 CEF Error；
  2. 假设 CEF 是线性的。
{e≡Y−E(Y|X)E(Y|X)=XTβ

注意到

E(e|X)=E(Y−XTβ∣X)=E(Y|X)−XTβ=0

因此 Linear CEF Model 也常常表示为：

  1. 线性模型假设；
  2. 均值独立假设。
{Y=XTβ+eE(e|X)=0
Attention

均值独立实际上是一个过于理想化的假设，相当于要求 X 和 e 线性无关。详见：间奏：独立、均值独立与不相关

CEF Error

(1)E[e|X]=0(2)E[e]=0(3)E[h(X)e]=0

Proof

(1)E[e|X]=E[Y−E(Y|X)|X]=E[Y|X]−E(Y|X)=0(2)E[e]=E[E(e|X)]=0(3)E[h(X)e]=E[E(h(X)e|X)]=E[h(X)E(e|X)]=0